derivee de ln(y/x) — solution étape par étape

L'expression

\ln (\frac{y}{x})

contient plusieurs variables : la variable x est choisie pour la dérivation

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (\frac{y}{x}))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

\frac{y}{x}

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (\frac{y}{x}))

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{\frac{y}{x}}

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{\frac{y}{x}}

Pour

p1

y

q2

x

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (y)

ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d x} (y)

0

0

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{0 \cdot x - y \cdot 1}{x^{2}}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot x

0

\frac{0 - y}{x^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - y

- y

- \frac{y}{x^{2}}

5) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x})

- \frac{y}{x^{2}}

- \frac{\frac{y}{x^{2}}}{\frac{y}{x}}

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

- \frac{\frac{y}{x^{2}}}{\frac{y}{x}}

- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x}{y}

- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x}{y}

On simplifie la fraction :

\frac{x}{x^{2}}

par le facteur commun :

x

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{x}

▶Dérivée :

- \frac{1}{x}