derivee de (1-25x^2)^2arcsin(5x)

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \arcsin (5 x))

Pour

u1

{(1 - 25 x^{2})}^{2}

v2

\arcsin (5 x)

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

1 - 25 x^{2}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot (1 - 25 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) - 50 \cdot \frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2}) \cdot x^{2}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 - 25 x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})) - 50 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})) \cdot x^{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

\frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 25 x^{2})

-25 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 \cdot (-25 \cdot 2 x) - 50 \cdot (-25 \cdot 2 x) \cdot x^{2}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

25 \cdot 2

(20 + 5) \cdot 2

20 \cdot 2 + 5 \cdot 2

40 + 10

50

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-50 \cdot (-25)

50 \cdot 25

50 \cdot (20 + 5)

50 \cdot 20 + 50 \cdot 5

1000 + 250

1250

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x x^{2}

x^{3}

- 50 \cdot 2 x + 1250 \cdot 2 x^{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

50 \cdot 2

100

1250 \cdot 2

(1000 + 200 + 50) \cdot 2

1000 \cdot 2 + 200 \cdot 2 + 50 \cdot 2

2000 + 400 + 100

2500

- 100 x + 2500 x^{3}

3) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (\arcsin (5 x))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\arcsin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - f^{2}}}

avec f =

5 x

ⓘ La dérivée de arcsin(x) est 1/sqrt(1 - x^2) :

\frac{d}{d x} (\arcsin (5 x))

\frac{\frac{d}{d x} (5 x)}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (5 x)}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}}

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x)

5

■La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(5 x)}^{2}

5^{2} \cdot x^{2}

\frac{5}{\sqrt{1 - 5^{2} \cdot x^{2}}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

5^{2}

5 \cdot 5

25

\frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

4) On évalue la dérivée résultante (

u1 \cdot v2

)' :

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot 5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{{(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot 5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}

5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{2 - \frac{1}{2}}

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{2 - \frac{1}{2}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{4 - 1}{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 1

3

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(- 100 x + 2500 x^{3}) \cdot \arcsin (5 x)

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x)

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(1 - 25 x^{2})}^{2} \cdot \arcsin (5 x))

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

- 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

On met en facteur

5

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

2500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 100 x \cdot \arcsin (5 x) + 5 \cdot {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

5 \cdot (500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}})

Facteur trouvé :

500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}

▶Dérivée :

5 \cdot (500 x^{3} \cdot \arcsin (5 x) - 20 x \cdot \arcsin (5 x) + {(1 - 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}})