derivee de (1-cos(x)/(1+cos(x)))

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (1 - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 - \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

Pour

p1

\cos (x)

q2

1 + \cos (x)

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (1 + \cos (x))

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + \cos (x))

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))

\frac{d}{d x} (\cos (x))

■La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

ⓘ On extrait les signes moins : un nombre pair de signes moins s'annule, un nombre impair laisse un signe moins :

- \cos (x) \cdot (- \sin (x))

\cos (x) \cdot \sin (x)

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) + \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- (\frac{- \sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) + \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}})

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{\sin (x) \cdot (1 + \cos (x)) - \cos (x) \cdot \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot ((\cos (x) + 1) - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x) \cdot ((\cos (x) + 1) - \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

\cos (x) - \cos (x)

0

\frac{\sin (x) \cdot (0 + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{\cos (x)}{1 + \cos (x)})

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

\frac{\sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{\sin (x)}{{(\cos (x) + 1)}^{2}}