derivee de (2x-x^2/(3x^2+2)) — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (2 x - \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 x - \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

Pour

p1

x^{2}

q2

3 x^{2} + 2

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2)

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - x^{2} \cdot 6 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x^{2} x

x^{3}

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 2) - 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{- 2 x \cdot (3 x^{2} + 2) + 6 x^{3}}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 2) + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 2) + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 x^{2} + 2)

- 3 x^{2} - 2

\frac{2 x \cdot (- 3 x^{2} - 2 + 3 x^{2})}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 x^{2} + 3 x^{2}

0

\frac{2 x \cdot (0 - 2)}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 2

-2

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-2)

-4

\frac{-4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

- \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 2})

- \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}

▶Dérivée :

2 - \frac{4 x}{{(3 x^{2} + 2)}^{2}}