derivee de (2x/(3+x^2)) — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3 + x^{2}})

Pour

p1

2 x

q2

3 + x^{2}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (3 + x^{2})

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 + x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 \cdot (3 + x^{2}) - 2 x \cdot 2 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

\frac{2 \cdot (3 + x^{2}) - 4 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (3 + x^{2})

6 + 2 x^{2}

\frac{6 + 2 x^{2} - 4 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x^{2} - 4 x^{2}

-2 x^{2}

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

5) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3 + x^{2}})

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{6 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}