derivee de (3x-2)^3(8x^2+7)^3 — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3})

Pour

u1

{(3 x - 2)}^{3}

v2

{(8 x^{2} + 7)}^{3}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

3 x - 2

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 2) \cdot {(3 x - 2)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 2) \cdot {(3 x - 2)}^{2}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x - 2)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + 0) \cdot {(3 x - 2)}^{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3 \cdot 3 \cdot {(3 x - 2)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 3

9

9 \cdot {(3 x - 2)}^{2}

3) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} ({(8 x^{2} + 7)}^{3})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

8 x^{2} + 7

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(8 x^{2} + 7)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (8 x^{2} + 7) \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (8 x^{2} + 7) \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (8 x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (8 x^{2}) + 0) \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (8 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (8 x^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (8 x^{2})

8 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 8 \cdot 2 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 8

24

24 \cdot 2 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⅰ

24 \cdot 2

(20 + 4) \cdot 2

20 \cdot 2 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

48 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

4) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3})

9 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3} + {(3 x - 2)}^{3} \cdot 48 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

9 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3} + {(3 x - 2)}^{3} \cdot 48 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

48 x \cdot {(3 x - 2)}^{3} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2} + 9 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3}

On peut factoriser l'expression en :

{(3 x - 2)}^{2} \cdot {((8 x^{2} + 7))}^{2} \cdot (48 x \cdot (3 x - 2) + 9 \cdot (8 x^{2} + 7))

Factorisons dans

ℝ

(48 x \cdot (3 x - 2) + 9 \cdot (8 x^{2} + 7))

On met en facteur

3

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

48 x \cdot (3 x - 2) + 9 \cdot (8 x^{2} + 7)

3 \cdot (16 x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (8 x^{2} + 7))

Facteur trouvé :

16 x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (8 x^{2} + 7)

▶Dérivée :

3 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2} \cdot (16 x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (8 x^{2} + 7))