derivee de (4-2x-x^2/(x^2-6)) — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (4 - 2 x - \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (4 - 2 x - \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

Pour

p1

x^{2}

q2

x^{2} - 6

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

- \frac{2 x \cdot (x^{2} - 6) - x^{2} \cdot 2 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x^{2} x

x^{3}

- \frac{2 x \cdot (x^{2} - 6) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{2 x \cdot (x^{2} - 6) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (x^{2} - 6) + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (x^{2} - 6) + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{- 2 x \cdot (x^{2} - 6) + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (x^{2} - 6) + x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (x^{2} - 6) + x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x^{2} - 6)

- x^{2} + 6

\frac{2 x \cdot (- x^{2} + 6 + x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x^{2} + x^{2}

0

\frac{2 x \cdot (0 + 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 6

6

ⅰ

2 \cdot 6

12

\frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

\frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

- 2 + \frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}} - 2