derivee de (4-3x/(3x^2+x)) — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (4 + \frac{-3 x}{3 x^{2} + x})

2) Mettons en facteurs dans

ℝ

3 x^{2} + x

On peut factoriser l'expression en :

x \cdot (3 x + 1)

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{-3 x}{3 x^{2} + x}

- \frac{3}{3 x + 1}

\frac{d}{d x} (4 - \frac{3}{3 x + 1})

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (4 - \frac{3}{3 x + 1})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

Pour

p1

3

q2

3 x + 1

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

3) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (3)

ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d x} (3)

0

0

4) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x + 1)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

5) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

- \frac{0 \cdot (3 x + 1) - 3 \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot (3 x + 1)

0

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 3

9

- \frac{0 - 9}{{(3 x + 1)}^{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 9

-9

■Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-9}{{(3 x + 1)}^{2}})

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

6) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}