derivee de (6x+8x^2)/((3+8x)^2) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{6 x + 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}})

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{6 x + 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 + 4 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\frac{2 x \cdot (3 + 4 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}})

Pour

p1

2 x \cdot (3 + 4 x)

q2

{(3 + 8 x)}^{2}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (2 x \cdot (3 + 4 x))

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x \cdot (3 + 4 x))

2 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (3 + 4 x))

2 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (3 + 4 x))

⇥Pour

u3

x

v4

3 + 4 x

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u3 \cdot v4) = \frac{d}{d x} (u3) \cdot v4 + u3 \cdot \frac{d}{d x} (v4)

⇥2.1) Dérivons

u3

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥2.2) Dérivons

v4

\frac{d}{d x} (3 + 4 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 + 4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

\frac{d}{d x} (4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

4

⇥2.3) Évaluons la dérivée obtenue (

u3 \cdot v4

)' :

1 \cdot (3 + 4 x) + x \cdot 4

⇥

3 + 4 x + x \cdot 4

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

4 x + x \cdot 4

8 x

⇥

3 + 8 x

⇥2.4) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (3 + 4 x))

3 + 8 x

2 \cdot (3 + 8 x)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (3 + 8 x)

6 + 16 x

6 + 16 x

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} ({(3 + 8 x)}^{2})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

3 + 8 x

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(3 + 8 x)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (3 + 8 x) \cdot (3 + 8 x)

2 \cdot \frac{d}{d x} (3 + 8 x) \cdot (3 + 8 x)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot \frac{d}{d x} (3 + 8 x) \cdot (3 + 8 x)

6 \cdot \frac{d}{d x} (3 + 8 x) + 16 \cdot \frac{d}{d x} (3 + 8 x) \cdot x

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 + 8 x)

0 + \frac{d}{d x} (8 x)

6 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (8 x)) + 16 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (8 x)) \cdot x

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (8 x)

\frac{d}{d x} (8 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (8 x)

8

6 \cdot 8 + 16 \cdot 8 x

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 8

48

16 \cdot 8

(10 + 6) \cdot 8

10 \cdot 8 + 6 \cdot 8

80 + 48

128

48 + 128 x

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{(6 + 16 x) \cdot {(3 + 8 x)}^{2} - 2 x \cdot (3 + 4 x) \cdot (48 + 128 x)}{{({(3 + 8 x)}^{2})}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{(6 + 16 x) \cdot {(3 + 8 x)}^{2} - 2 x \cdot (3 + 4 x) \cdot (48 + 128 x)}{{({(3 + 8 x)}^{2})}^{2}}

\frac{(8 x + 3) \cdot ((8 x + 3) \cdot (16 x + 6) - 32 x \cdot (3 + 4 x))}{{({(3 + 8 x)}^{2})}^{2}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{({(3 + 8 x)}^{2})}^{2}

{(3 + 8 x)}^{2 \cdot 2}

\frac{(8 x + 3) \cdot ((8 x + 3) \cdot (16 x + 6) - 32 x \cdot (3 + 4 x))}{{(3 + 8 x)}^{2 \cdot 2}}

ⅰ

2 \cdot 2

4

\frac{(8 x + 3) \cdot ((8 x + 3) \cdot (16 x + 6) - 32 x \cdot (3 + 4 x))}{{(3 + 8 x)}^{4}}

On divise le numérateur et le dénominateur de

\frac{8 x + 3}{{(3 + 8 x)}^{4}}

par le facteur commun :

8 x + 3

, ce qui donne la nouvelle fraction :

\frac{1}{{(3 + 8 x)}^{3}}

\frac{(8 x + 3) \cdot (16 x + 6) - 32 x \cdot (3 + 4 x)}{{(3 + 8 x)}^{3}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(8 x + 3) \cdot (16 x + 6)

8 \cdot x \cdot 16 \cdot x

+ 8 x \cdot 6

+ 3 \cdot 16 x

+ 3 \cdot 6

- 32 x \cdot (3 + 4 x)

- (96 x + 128 x^{2})

\frac{8 \cdot x \cdot 16 \cdot x + 8 x \cdot 6 + 3 \cdot 16 x + 3 \cdot 6 - (96 x + 128 x^{2})}{{(3 + 8 x)}^{3}}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 16

8 \cdot (10 + 6)

8 \cdot 10 + 8 \cdot 6

80 + 48

128

8 \cdot 6

48

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

3 \cdot 6

18

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (96 x + 128 x^{2})

- 96 x - 128 x^{2}

\frac{128 x^{2} + 48 x + 48 x + 18 - 96 x - 128 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{3}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

48 x + 48 x - 96 x

0

128 x^{2} - 128 x^{2}

0

\frac{0 + 0 + 18}{{(3 + 8 x)}^{3}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0 + 18

18

\frac{18}{{(3 + 8 x)}^{3}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{2 x \cdot (3 + 4 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}})

\frac{18}{{(3 + 8 x)}^{3}}

\frac{18}{{(3 + 8 x)}^{3}}

▶Dérivée :

\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}