derivee de (9x^2+9sqrt(x))/(8x) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{9 x^{2} + 9 \sqrt{x}}{8 x})

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{9 x^{2} + 9 \sqrt{x}}{8 x}

\frac{9 \sqrt{x} \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \sqrt{x} \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x})

La fraction :

\frac{\sqrt{x}}{x}

se simplifie par le facteur commun :

\sqrt{x}

en une nouvelle fraction :

\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x^{1 - \frac{1}{2}}})

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

1 - \frac{1}{2}

\frac{2 - 1}{2}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x^{\frac{2 - 1}{2}}})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 1

1

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 \sqrt{x}})

Pour

p1

9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)

q2

8 \sqrt{x}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1))

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1))

9 \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} + 1)

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0

9 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0)

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

9 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

ⅰ

9 \cdot \frac{3}{2}

\frac{27}{2}

\frac{27}{2} \cdot \sqrt{x}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{27}{2} \cdot \sqrt{x}

\frac{27 \sqrt{x}}{2}

\frac{27 \sqrt{x}}{2}

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (8 \sqrt{x})

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (8 \sqrt{x})

8 \cdot \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

8 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

8 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{8 \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{8}{2 \sqrt{x}}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{8}{2 \sqrt{x}}

\frac{4}{\sqrt{x}}

\frac{4}{\sqrt{x}}

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{\frac{27 \sqrt{x}}{2} \cdot 8 \sqrt{x} - 9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{27 \sqrt{x}}{2} \cdot 8 \sqrt{x}

\frac{27 \cdot \sqrt{x} \cdot 8 \cdot \sqrt{x}}{2}

\frac{216 x}{2}

9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}

\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 4}{\sqrt{x}}

\frac{36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{\sqrt{x}}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{216 x}{2} - \frac{36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{\sqrt{x}}

\frac{216 x \cdot \sqrt{x} - 36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{216 x \cdot \sqrt{x} - 36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \sqrt{x}

x^{1 + \frac{1}{2}}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

36 \cdot 2

(30 + 6) \cdot 2

30 \cdot 2 + 6 \cdot 2

60 + 12

72

\frac{\frac{216 x^{1 + \frac{1}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{\frac{216 x^{\frac{2 + 1}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 1

3

\frac{\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Diviser une fraction par

{(8 \sqrt{x})}^{2}

revient à multiplier son dénominateur par

{(8 \sqrt{x})}^{2}

\frac{\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x} \cdot {(8 \sqrt{x})}^{2}}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x} \cdot {(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)

- (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)

■La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(8 \sqrt{x})}^{2}

8^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{2}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)}{2 \sqrt{x} \cdot 8^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)

- 72 x^{\frac{3}{2}} - 72

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 x^{\frac{3}{2}} - 72}{2 \sqrt{x} \cdot 64 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

216 x^{\frac{3}{2}} - 72 x^{\frac{3}{2}}

144 x^{\frac{3}{2}}

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x} x^{\frac{2}{2}}

x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}

ⅰ

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + \frac{2}{2}

\frac{1 + 2}{2}

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{3}{2}}}

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 \sqrt{x}})

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

▶Dérivée :

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}