derivee de (cos(7x)^x) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({\cos (7 x)}^{x})

Pour dériver sur les intervalles où

\cos (7 x) > 0

, on écrit

{\cos (7 x)}^{x}

e^{x \cdot \ln (\cos (7 x))}

ⅰ

\frac{d}{d x} ({\cos (7 x)}^{x})

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\cos (7 x))) \cdot e^{x \cdot \ln (\cos (7 x))}

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\cos (7 x))) \cdot e^{x \cdot \ln (\cos (7 x))}

Pour

u1

x

v2

\ln (\cos (7 x))

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Effectuons la dérivation

v2

\frac{d}{d x} (\ln (\cos (7 x)))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

\cos (7 x)

ⓘ La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (\cos (7 x)))

\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot \frac{1}{\cos (7 x)}

\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot \frac{1}{\cos (7 x)}

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

avec f =

7 x

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot \frac{1}{\cos (7 x)}

\frac{\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot 1}{\cos (7 x)}

\frac{\frac{d}{d x} (\cos (7 x))}{\cos (7 x)}

■La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

- \frac{\frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)}{\cos (7 x)}

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (7 x)

7

- \frac{7 \cdot \sin (7 x)}{\cos (7 x)}

ⓘ sin(x)/cos(x) = tan(x) :

- \frac{7 \cdot \sin (7 x)}{\cos (7 x)}

- 7 \cdot \tan (7 x)

- 7 \cdot \tan (7 x)

4) On évalue la dérivée résultante (

u1 \cdot v2

)' :

1 \cdot \ln (\cos (7 x)) + x \cdot (- 7 \cdot \tan (7 x))

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

x \cdot (-7) \cdot \tan (7 x)

- 7 x \cdot \tan (7 x)

\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\cos (7 x)))

\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)

(\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

\ln (\cos (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x} - 7 x \cdot \tan (7 x) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

\ln (\cos (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x} - 7 x \cdot \tan (7 x) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

{\cos (7 x)}^{x} \cdot \ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot {\cos (7 x)}^{x} \cdot \tan (7 x)

{\cos (7 x)}^{x} \cdot (\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x))

▶Dérivée :

{\cos (7 x)}^{x} \cdot (\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x))