derivee de ((x^2-5)^3)/(x^2+2) — solution étape par étape

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{{(x^{2} - 5)}^{3}}{x^{2} + 2})

Pour

p1

{(x^{2} - 5)}^{3}

q2

x^{2} + 2

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 5)}^{3})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{2} - 5

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 5)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 5)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} \cdot (x^{2} + 2) - {(x^{2} - 5)}^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} \cdot (x^{2} + 2) - {(x^{2} - 5)}^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- (x^{2} - 5))}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- (x^{2} - 5))}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x^{2} - 5)

- x^{2} + 5

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (x^{2} + 2)

3 x^{2} + 6

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (3 x^{2} + 6 - x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

6 + 5

11

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 x^{2} - x^{2}

2 x^{2}

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{{(x^{2} - 5)}^{3}}{x^{2} + 2})

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{2 x \cdot (2 x^{2} + 11) \cdot {(5 - x^{2})}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}