derivee de ((x^2+1^2)/((x^4+1)^4))

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}})

Pour

p1

x^{2} + 1

q2

{(x^{4} + 1)}^{4}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} ({(x^{4} + 1)}^{4})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{4} + 1

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{4} + 1)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{4} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + 0

4 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + 0) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{4}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{4})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

4 \cdot 4 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

ⅰ

4 \cdot 4

16

16 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{4} - (x^{2} + 1) \cdot 16 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}}{{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{4} - (x^{2} + 1) \cdot 16 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}}{{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}}

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}

{(x^{4} + 1)}^{4 \cdot 2}

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4 \cdot 2}}

ⅰ

4 \cdot 2

8

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{3} \cdot ((x^{4} + 1) - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{3} \cdot ((x^{4} + 1) - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

On divise le numérateur et le dénominateur de

\frac{{(x^{4} + 1)}^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

par le facteur commun :

{(x^{4} + 1)}^{3}

, ce qui donne la nouvelle fraction :

\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 \cdot x \cdot (x^{4} + 1 - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1)

- (8 x^{4} + 8 x^{2})

2 x \cdot (x^{4} + 1 - (8 x^{4} + 8 x^{2}))

2 x^{5} + 2 x + 2 x \cdot (- (8 x^{4} + 8 x^{2}))

\frac{2 x^{5} + 2 x + 2 x \cdot (- (8 x^{4} + 8 x^{2}))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- (8 x^{4} + 8 x^{2}))

-2 \cdot (8 x^{4} + 8 x^{2})

\frac{2 x^{5} + 2 x - 2 x \cdot (8 x^{4} + 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x^{5} + 2 x - 2 x \cdot (8 x^{4} + 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (x^{4} + 1 - (8 x^{4} + 8 x^{2}))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (x^{4} + 1 - (8 x^{4} + 8 x^{2}))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (8 x^{4} + 8 x^{2})

- 8 x^{4} - 8 x^{2}

\frac{2 x \cdot (x^{4} + 1 - 8 x^{4} - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x^{4} - 8 x^{4}

-7 x^{4}

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} + 1 - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

5) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{4}})

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} + 1 - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} + 1 - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

▶Dérivée :

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} - 8 x^{2} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{5}}