derivee de (sin(x)/(x^2)) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{x^{2}})

Pour

p1

\sin (x)

q2

x^{2}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (\sin (x))

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

\cos (x)

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{\cos (x) \cdot x^{2} - \sin (x) \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{\cos (x) \cdot x^{2} - \sin (x) \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

\frac{x \cdot (x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x))}{{(x^{2})}^{2}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(x^{2})}^{2}

x^{2 \cdot 2}

\frac{x \cdot (x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x))}{x^{2 \cdot 2}}

ⅰ

2 \cdot 2

4

\frac{x \cdot (x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x))}{x^{4}}

On simplifie la fraction :

\frac{x}{x^{4}}

par le facteur commun :

x

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{x^{3}}

\frac{x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)}{x^{3}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{x^{2}})

\frac{x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)}{x^{3}}

▶Dérivée :

\frac{x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)}{x^{3}}