derivee de (x^2)/((x^2-1)^4) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}})

Pour

p1

x^{2}

q2

{(x^{2} - 1)}^{4}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{4})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{2} - 1

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

4 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

4 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

ⅰ

4 \cdot 2

8

8 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - x^{2} \cdot 8 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{({(x^{2} - 1)}^{4})}^{2}}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x^{2} x

x^{3}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{({(x^{2} - 1)}^{4})}^{2}

{(x^{2} - 1)}^{4 \cdot 2}

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - 8 x^{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{4 \cdot 2}}

ⅰ

4 \cdot 2

8

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - 8 x^{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - 8 x^{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot ({(x^{2} - 1)}^{4} - 4 x^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot ({(x^{2} - 1)}^{4} - 4 x^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot ({(x^{2} - 1)}^{4} - 4 x^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot ((x^{2} - 1) - 4 x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot ((x^{2} - 1) - 4 x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

On divise le numérateur et le dénominateur de

\frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

par le facteur commun :

{(x^{2} - 1)}^{3}

, ce qui donne la nouvelle fraction :

\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

\frac{2 \cdot x \cdot (x^{2} - 1 - 4 x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x^{2} - 4 x^{2}

-3 x^{2}

\frac{2 x \cdot (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 3 x^{2} - 1

- (3 x^{2} + 1)

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- (3 x^{2} + 1))

-2 \cdot (3 x^{2} + 1)

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 x \cdot (3 x^{2} + 1)

6 x^{3} + 2 x

- \frac{6 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

- \frac{6 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- (3 x^{2} + 1))

-2 \cdot (3 x^{2} + 1)

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}})

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

▶Dérivée :

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}