derivee de sin(3x^2cos(2x)) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

3 x^{2} \cdot \cos (2 x)

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

Pour

u1

x^{2}

v2

\cos (2 x)

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (\cos (2 x))

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

avec f =

2 x

ⓘ La dérivée de cos(x) est -sin(x) :

\frac{d}{d x} (\cos (2 x))

- \frac{d}{d x} (2 x) \cdot \sin (2 x)

- \frac{d}{d x} (2 x) \cdot \sin (2 x)

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

- 2 \cdot \sin (2 x)

4) Évaluons la dérivée obtenue (

u1 \cdot v2

)' :

2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

x^{2} \cdot (-2) \cdot \sin (2 x)

- 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x))

2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

3 \cdot (2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)

(6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \sin (2 x)

L'expression peut être factorisée en :

x \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot (6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x))

Factorisons dans

ℝ

(6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x))

On met en facteur

6

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x)

6 \cdot (\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x))

Facteur trouvé :

\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x)

▶Dérivée :

6 x \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot (\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x))