derivee de sin(arctan(3x)) — solution étape par étape

Dérivons :

\frac{d}{d x} (\sin (\arctan (3 x)))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

avec f =

\arctan (3 x)

ⓘ La dérivée de sin(x) est cos(x) :

\frac{d}{d x} (\sin (\arctan (3 x)))

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x)) \cdot \cos (\arctan (3 x))

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x)) \cdot \cos (\arctan (3 x))

Pour t réel, arctan(t) appartient à ]−π/2, π/2[, donc son cosinus est positif et

\cos (\arctan (t)) = \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}

ⅰ

\cos (\arctan (3 x))

\frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x)) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\arctan (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f^{2} + 1}

avec f =

3 x

ⓘ La dérivée de arctan(x) est 1/(1 + x^2) :

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x))

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{{(3 x)}^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{{(3 x)}^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{{(3 x)}^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x) \cdot 1}{({(3 x)}^{2} + 1) \cdot \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{({(3 x)}^{2} + 1) \cdot \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

({(3 x)}^{2} + 1) \cdot \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}

{({(3 x)}^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}

\frac{3}{{({(3 x)}^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{3}{{({(3 x)}^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 1

3

\frac{3}{{({(3 x)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(3 x)}^{2}

3^{2} \cdot x^{2}

\frac{3}{{(3^{2} \cdot x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

▶Dérivée :

\frac{3}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}