derivee de x^2sqrt(3x+5) — solution étape par étape

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \sqrt{3 x + 5})

Pour

u1

x^{2}

v2

\sqrt{3 x + 5}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (\sqrt{3 x + 5})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

3 x + 5

ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{3 x + 5})

\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x + 5)}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (3 x) + 0}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

4) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \sqrt{3 x + 5})

2 x \cdot \sqrt{3 x + 5} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

2 x \cdot \sqrt{3 x + 5} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

▶Dérivée :

\frac{3 x^{2}}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}} + 2 x \cdot \sqrt{3 x + 5}