derivee de y= 1/(sqrt(a^2-x^2)) — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

L'expression

\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

contient plusieurs variables : la variable x est choisie pour la dérivation

Pour faciliter la dérivation, l'expression

\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

est transformée en

{(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Dérivons :

\frac{d}{d x} ({(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

a^{2} - x^{2}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}})

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

■On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})

\frac{d}{d x} (a^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d x} (a^{2})

0

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

- \frac{0 - 2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 2 x

- 2 x

■Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{- 2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{x}{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

▶Dérivée :

\frac{x}{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}