derivee de y=(3x+4)/(sqrt(2x-1))

On sauvegarde la définition :

y = \frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}})

Pour

p1

3 x + 4

q2

\sqrt{2 x - 1}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x - 1})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

avec f =

2 x - 1

ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x - 1})

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x - 1)}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) + 0}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

(3 x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{(3 x + 4) \cdot 1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

3 \cdot \sqrt{2 x - 1} - \frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4)}{\sqrt{2 x - 1}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{2 x - 1})}^{2}

{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4)}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 x + 4)

- 3 x - 4

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1}

2 x - 1

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(2 x - 1)}^{1}}

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}

ⓘ Diviser une fraction par

2 x - 1

revient à multiplier son dénominateur par

2 x - 1

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)}

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)

{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

3 \cdot (2 x - 1)

6 x - 3

\frac{6 x - 3 - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 - 4

-7

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

6 x - 3 x

3 x

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}})

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

▶Dérivée :

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}