derivee de y=(5x-2)/(sqrt(x)) — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

y = \frac{5 x - 2}{\sqrt{x}}

1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{5 x - 2}{\sqrt{x}})

Pour

p1

5 x - 2

q2

\sqrt{x}

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (5 x - 2)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (5 x - 2)

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x)

5

5

3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{5 \sqrt{x} - (5 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{{(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

(5 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{(5 x - 2) \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{5 x - 2}{2 \sqrt{x}}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

5 \sqrt{x} - \frac{5 x - 2}{2 \sqrt{x}}

\frac{5 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (5 x - 2)}{2 \sqrt{x}}

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{5 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (5 x - 2)}{2 \sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (5 x - 2)

- 5 x + 2

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 2

10

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

x

■Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{10 x - 5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x^{1}}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

10 x - 5 x

5 x

\frac{\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x}

ⓘ Diviser une fraction par

x

revient à multiplier son dénominateur par

x

\frac{\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x}

\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x} \cdot x}

\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x} \cdot x}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{x} x

x^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}

5) Puis on reprend la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{5 x - 2}{\sqrt{x}})

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}

▶Dérivée :

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}