derivee de y=(7ln(x))/(3x+4) — solution étape par étape

On sauvegarde la définition :

y = \frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4}

1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4})

Pour

p1

7 \cdot \ln (x)

q2

3 x + 4

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (7 \cdot \ln (x))

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (7 \cdot \ln (x))

7 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x))

■La dérivée de ln(x) est 1/x :

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

7 \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

7 \cdot \frac{1}{x}

\frac{7 \cdot 1}{x}

\frac{7}{x}

\frac{7}{x}

3) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

4) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{\frac{7}{x} \cdot (3 x + 4) - 7 \cdot \ln (x) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{7}{x} \cdot (3 x + 4)

\frac{7 \cdot (3 x + 4)}{x}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

7 \cdot 3

21

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{7 \cdot (3 x + 4)}{x} - 21 \cdot \ln (x)

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}

\frac{\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}}{{(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Diviser une fraction par

{(3 x + 4)}^{2}

revient à multiplier son dénominateur par

{(3 x + 4)}^{2}

\frac{\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}}{{(3 x + 4)}^{2}}

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

7 \cdot (3 x + 4)

21 x + 28

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

5) On poursuit ensuite la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4})

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

▶Dérivée :

\frac{- 21 x \cdot \ln (x) + 21 x + 28}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}