derivee implicite de x^2+y^2=1 — solution étape par étape

1) Pour

x^{2} + y^{2} = 1

, on considère y comme une fonction dérivable de x et on dérive les deux membres

On pose F(x, y) =

x^{2} + y^{2} - 1

. La règle de la chaîne donne Fx + Fy*dy/dx = 0

Pour Fx, on dérive par rapport à x en tenant y constant

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 1)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (y^{2})

■La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d x} (y^{2})

0

⇥

2 x + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

2 x + 0

2 x

⇥

2 x

Pour Fy, on dérive par rapport à y en tenant x constant

⇥1.2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2} - 1)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2} - 1)

\frac{d}{d y} (x^{2}) + \frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d y} (x^{2}) + \frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

⇥ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d y} (x^{2})

0

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

\frac{d}{d y} (y^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d y} (y^{2})

2 y

⇥

0 + 2 y

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 2 y

2 y

⇥

2 y

Les dérivées partielles sont Fx =

2 x

et Fy =

2 y

2 y \neq 0

, on isole la dérivée : dy/dx = -Fx/Fy. Cette condition est prise sur la courbe d'origine

⇥

- \frac{2 x}{2 y}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{2 x}{2 y}

- \frac{x}{y}

▶Dérivée implicite dy/dx :

- \frac{x}{y}