derivee implicite (dy)/(dx),x^6-5xy^3=9xy

⚠ xy est lu comme le produit x*y : pour la variable xy, écrivez xy_

1) Pour

x^{6} - 5 x y^{3} = 9 x y

, on considère y comme une fonction dérivable de x et on dérive les deux membres

On pose F(x, y) =

x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y

. La règle de la chaîne donne Fx + Fy*dy/dx = 0

Pour Fx, on dérive par rapport à x en tenant y constant

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

\frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x y)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x y)

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{6})

6 x^{5}

■Pour la dérivation par rapport à

x

-5 y^{3}

est considéré constant. Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 5 x y^{3})

-5 y^{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)

■Pour la dérivation par rapport à

x

-9 y

est considéré constant. Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 9 x y)

-9 y \cdot \frac{d}{d x} (x)

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) - 9 y \cdot \frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} \cdot 1 - 9 y \cdot 1

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y

Pour Fy, on dérive par rapport à y en tenant x constant

⇥1.2) Dérivons :

\frac{d}{d y} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d y} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

\frac{d}{d y} (x^{6}) + \frac{d}{d y} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d y} (- 9 x y)

⇥

\frac{d}{d y} (x^{6}) + \frac{d}{d y} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d y} (- 9 x y)

⇥ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d y} (x^{6})

0

■Pour la dérivation par rapport à

y

-5 x

est considéré constant. Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d y} (- 5 x y^{3})

-5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

■Pour la dérivation par rapport à

y

-9 x

est considéré constant. Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d y} (- 9 x y)

-9 x \cdot \frac{d}{d y} (y)

⇥

0 - 5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3}) - 9 x \cdot \frac{d}{d y} (y)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

-5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d y} (y^{3})

3 y^{2}

■La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d y} (y)

1

⇥

- 5 x \cdot 3 y^{2} - 9 x \cdot 1

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 3

15

⇥

- 15 x y^{2} - 9 x

Les dérivées partielles sont Fx =

6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y

et Fy =

- 15 x y^{2} - 9 x

- 15 x y^{2} - 9 x \neq 0

, on isole la dérivée : dy/dx = -Fx/Fy. Cette condition est prise sur la courbe d'origine

⇥

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- 15 x y^{2} - 9 x}

⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 15 x y^{2} - 9 x

- (15 x y^{2} + 9 x)

⇥

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- (15 x y^{2} + 9 x)}

⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- (15 x y^{2} + 9 x)}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

⇥

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{3 x \cdot (5 y^{2} + 3)}

▶Dérivée implicite dy/dx :

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{3 x \cdot (5 y^{2} + 3)}