derivee partielle de ln(x*y/z) par rapport a z

1) On dérive par rapport à z ; les autres variables (x, y) sont considérées constantes

Dérivons :

\frac{d}{d z} (\ln (x \cdot \frac{y}{z}))

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d z} (\ln (f)) = \frac{d}{d z} (f) \cdot \frac{1}{f}

avec f =

\frac{x y}{z}

\frac{d}{d z} (\frac{x y}{z}) \cdot \frac{1}{\frac{x y}{z}}

Pour

u1

x y

v2

z

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d z} (\frac{u1}{v2}) = \frac{\frac{d}{d z} (u1) \cdot v2 - u1 \cdot \frac{d}{d z} (v2)}{{v2}^{2}}

2) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d z} (x y)

0

3) Dérivons

v2

\frac{d}{d z} (z)

1

4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{u1}{v2}

)' :

\frac{0 \cdot z - x y \cdot 1}{z^{2}}

\frac{0 - x y}{z^{2}}

- \frac{x y}{z^{2}}

5) On poursuit ensuite la dérivation :

- \frac{\frac{x y}{z^{2}}}{\frac{x y}{z}}

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

- \frac{x y z}{z^{2} x y}

On simplifie la fraction :

\frac{z}{z^{2}}

par le facteur commun :

z

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{z}

▶Dérivée :

- \frac{1}{z}