developpe (2x+1)^3 — solution étape par étape

Développons :

{(2 x + 1)}^{3}

Avec la formule du binôme de Newton :

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{n!}{k! (n - k)!}) a^{n - k} b^{k}

, développons l'expression :

ⅰ

{(2 x + 1)}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3} \cdot 1^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(2 x)}^{1} \cdot 1^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(2 x)}^{0} \cdot 1^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3} \cdot 1^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(2 x)}^{1} \cdot 1^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(2 x)}^{0} \cdot 1^{3}

ⓘ Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

1^{0}

1

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1. Pour ce calcul, la convention retenue est

0^{0} = 1

{(2 x)}^{0}

1

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 2 x

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!}

ⓘ La factorielle d'un entier strictement positif est le produit de tous les entiers de 1 à cet entier :

3!

6

2!

2

■On définit la factorielle de 0 comme étant 1 :

0!

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

6 \cdot 1

6

1 \cdot 6

6

■La factorielle d'un entier strictement positif se calcule en multipliant tous les entiers de 1 à cet entier :

1!

1

3!

6

■Un produit par 1 conserve la valeur initiale :

2 \cdot 1

2

1 \cdot 2

2

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

\frac{6}{6} \cdot {(2 x)}^{3}

+ \frac{6}{2} \cdot {(2 x)}^{2}

+ \frac{6}{2} \cdot 2 x

+ \frac{6}{6}

ⓘ Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot {(2 x)}^{3}

{(2 x)}^{3}

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

\frac{6}{2} \cdot 2

6

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

{(2 x)}^{3}

+ 3 \cdot {(2 x)}^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ La puissance d'un produit est le produit des puissances :

{(2 x)}^{3}

2^{3} \cdot x^{3}

{(2 x)}^{2}

2^{2} \cdot x^{2}

2^{3} \cdot x^{3}

+ 3 \cdot 2^{2} \cdot x^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

8 x^{3}

+ 3 \cdot 4 x^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

▶Forme développée :

8 x^{3}

+ 12 x^{2}

+ 6 x

+ 1