developpe (x-1)^3 — solution étape par étape

Mettons sous forme développée :

{(x - 1)}^{3}

En utilisant la formule du binôme de Newton :

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n!}{k! (n - k)!}) a^{n - k} b^{k}

, on développe l'expression mathématique :

ⅰ

{(x - 1)}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot x^{3} \cdot {(-1)}^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot x^{2} \cdot {(-1)}^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot x^{1} \cdot {(-1)}^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot x^{0} \cdot {(-1)}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot x^{3} \cdot {(-1)}^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot x^{2} \cdot {(-1)}^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot x^{1} \cdot {(-1)}^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot x^{0} \cdot {(-1)}^{3}

ⓘ Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

{(-1)}^{0}

1

■La factorielle d'un nombre est le produit de tous les entiers de 1 à ce nombre :

3!

6

2!

2

1!

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

2 \cdot 1

2

1 \cdot 2

2

\frac{6}{2} \cdot x \cdot 1

\frac{6}{2} \cdot x

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

\frac{6}{2} \cdot (-1)

- \frac{6}{2}

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1. Dans ce calcul, on adopte la convention 0^0 = 1 :

x^{0}

1

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot x^{3}

- \frac{6}{2} \cdot x^{2}

+ \frac{6}{2} \cdot x

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(-1)}^{3}

ⓘ La factorielle d'un nombre est le produit de tous les entiers de 1 à ce nombre :

3!

6

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

6 \cdot 1

6

1 \cdot 6

6

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{2}

3

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

\frac{6}{6} \cdot (-1)

- \frac{6}{6}

\frac{6}{6} \cdot x^{3}

- 3 x^{2}

+ 3 x

- \frac{6}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

- \frac{6}{6}

-1

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot x^{3}

x^{3}

▶Forme développée :

x^{3}

- 3 x^{2}

+ 3 x

- 1