developpe (x+4)^3 — solution étape par étape

Développons :

{(x + 4)}^{3}

En utilisant la formule du binôme de Newton :

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{n!}{k! (n - k)!}) a^{n - k} b^{k}

, on développe l'expression mathématique :

ⅰ

{(x + 4)}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot x^{3} \cdot 4^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot x^{2} \cdot 4^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot x^{1} \cdot 4^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot x^{0} \cdot 4^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot x^{3} \cdot 4^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot x^{2} \cdot 4^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot x^{1} \cdot 4^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot x^{0} \cdot 4^{3}

ⓘ Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

4^{0}

1

■La factorielle d'un entier strictement positif se calcule en multipliant tous les entiers de 1 à cet entier :

3!

6

2!

2

■La factorielle d'un entier strictement positif est le produit de tous les entiers de 1 à cet entier :

1!

1

3!

6

2!

2

■Multiplier par 1 ne change rien :

2 \cdot 1

2

■Un produit par 1 conserve la valeur initiale :

1 \cdot 2

2

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

■Élever un nombre non nul à la puissance 0 donne 1. Dans ce calcul, on adopte la convention

0^{0} = 1

x^{0}

1

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot x^{3}

+ \frac{6}{2} \cdot x^{2} \cdot 4

+ \frac{6}{2} \cdot x \cdot 16

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot 4^{3}

ⓘ La factorielle d'un entier strictement positif se calcule en multipliant tous les entiers de 1 à cet entier :

3!

6

■La factorielle d'un entier strictement positif est le produit de tous les entiers de 1 à cet entier :

3!

6

■Par convention, la factorielle de 0 vaut 1 :

0!

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

6 \cdot 1

6

■On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

\frac{6}{2} \cdot 4

6 \cdot 2

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

\frac{6}{2} \cdot 16

6 \cdot 8

■On définit la factorielle de 0 comme étant 1 :

0!

1

■Un produit par 1 conserve la valeur initiale :

1 \cdot 6

6

■On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

\frac{6}{6} \cdot x^{3}

+ 6 \cdot 2 \cdot x^{2}

+ 6 \cdot 8 \cdot x

+ \frac{6}{6} \cdot 64

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

■Un produit par 1 conserve la valeur initiale :

1 \cdot x^{3}

x^{3}

1 \cdot 64

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 2

12

■On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions :

6 \cdot 8

48

■Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

▶Forme développée :

x^{3}

+ 12 x^{2}

+ 48 x

+ 64