domaine de definition de f(x)=(3x^2-3)/(2x^2+7x+5)

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{3 x^{2} - 3}{2 x^{2} + 7 x + 5}

1) Cherchons le domaine de

\frac{3 x^{2} - 3}{2 x^{2} + 7 x + 5}

Pour que l'expression

\frac{3 x^{2} - 3}{2 x^{2} + 7 x + 5}

soit définie, on doit avoir :

2 x^{2} + 7 x + 5 \neq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = 7

c = 5

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

7^{2}

7 \cdot 7

49

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

Δ = 49 - 8 \cdot 5

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 5

40

Δ = 49 - 40

ⓘ On part de

49

et on recule de

40

sur la droite des nombres :

49 - 40

9

Δ = 9

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{1} = \frac{- 7 - 3}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 7 - 3

-10

x_{1} = - \frac{10}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{4}

- \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{5}{2}

x_{1} = - \frac{5}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 2

4

x_{2} = \frac{- 7 + 3}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 7 + 3

-4

x_{2} = - \frac{4}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{4}

-1

x_{2} = -1

▶Domaine de définition :

x \in ℝ \ {- \frac{5}{2}; -1}

2) La valeur numérique de :

x \in ℝ \ {- \frac{5}{2}; -1}

vaut :

▷

x \in ℝ \ {-2,5; -1}