domaine de definition de f(x)=(4x+2)/(x^2-4x-32)

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{4 x + 2}{x^{2} - 4 x - 32}

Évaluons le domaine de

\frac{4 x + 2}{x^{2} - 4 x - 32}

Pour que l'expression

\frac{4 x + 2}{x^{2} - 4 x - 32}

existe, on doit vérifier :

x^{2} - 4 x - 32 \neq 0

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -4

c = -32

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-32)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

Δ = 16 - 4 \cdot (-32)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-32)

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

Δ = 16 + 128

ⓘ On part de

16

et on avance de

128

sur la droite des nombres :

16 + 128

144

Δ = 144

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{144}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{144}

12

;

12^{2}

144

x_{1} = \frac{4 - 12}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 12

-8

x_{1} = - \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

x_{1} = -4

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{144}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{144}

12

;

12^{2}

144

x_{2} = \frac{4 + 12}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 12

16

x_{2} = \frac{16}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{16}{2}

8

x_{2} = 8

▶Domaine de définition :

x \in ℝ \ {-4; 8}