domaine de definition de f(x)=(x^3-x)/(x^3-x^2-2x)

On sauvegarde la définition :

f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

1) Cherchons le domaine de

\frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

Pour que l'expression

\frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

soit définie, on doit avoir :

x^{3} - x^{2} - 2 x \neq 0

On peut mettre l'expression :

x^{3} - x^{2} - 2 x

en facteurs :

x \cdot (x^{2} - x - 2)

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x \neq 0

⇥Solution trouvée :

x \neq 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - x - 2 \neq 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

⇥

x_{2} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

x_{2} = 2

⇥Solution obtenue :

x \in ℝ \ {-1; 2}

▶Domaine de définition :

x \in ℝ \ {-1; 0; 2}