domaine de definition de f(x)=sqrt((x^2-5x+4)/(3-x))

On sauvegarde la définition :

f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

1) Évaluons le domaine de

\sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

Pour que l'expression

\sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

existe, on doit vérifier :

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0

Pour que l'expression

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}

existe, on doit vérifier :

3 - x \neq 0

2) Résolvons dans

ℝ

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0

On étudie le signe du numérateur

Étudions le signe de

x^{2} - 5 x + 4

en résolvant dans

ℝ

x^{2} - 5 x + 4 \geq 0

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -5

c = 4

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot 4

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

Δ = 25 - 16

ⓘ On part de

25

et on recule de

16

sur la droite des nombres :

25 - 16

9

Δ = 9

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{1} = \frac{5 - 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 3

2

x_{1} = \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

x_{1} = 1

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

x_{2} = \frac{5 + 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 + 3

8

x_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

x_{2} = 4

Le trinôme est du signe de a =

1

à l'extérieur de ses racines, donc il est bien positif à l'extérieur de ses racines ; les racines, où il s'annule, sont incluses.

Solution trouvée :

x \in] -∞; 1] \cup [4; +∞ [

⇥Donc l'expression

x^{2} - 5 x + 4

est positive ou nulle sur

] -∞; 1] \cup [4; +∞ [

et négative sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

3 - x

s'annule en :

⇥

x = 3

⇥Son coefficient en

x

-1

, étant négatif, elle est positive avant et négative après

3

(valeur interdite)

3) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$1$		$3$		$4$		$+∞$
$x^{2} - 5 x + 4$		+	0	-		-	0	+
$3 - x$		+		+	0	-		-
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}$		+	0	-	❌	+	0	-

Solution obtenue :

x \in] -∞; 1] \cup] 3; 4]

4) Résolvons dans

ℝ

3 - x \neq 0

ⓘ On ajoute

x

aux deux membres

3 \neq x

Solution trouvée :

x \neq 3

Agrégeons les différents solutions pour trouver la solution globale :

x	$-∞$		$1$		$3$		$4$		$+∞$
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0$		✅	✅	❌	❌	✅	✅	❌
$3 - x \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅	✅	✅
Domaine de définition :		✅	✅	❌	❌	✅	✅	❌

▶Domaine de définition :

x \in] -∞; 1] \cup] 3; 4]