domaine de definition de (x^3+7x^2+12x)/(x^3+x^2-2x)

1) Cherchons le domaine de

\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}{x^{3} + x^{2} - 2 x}

Pour que l'expression

\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}{x^{3} + x^{2} - 2 x}

existe, on doit vérifier :

x^{3} + x^{2} - 2 x \neq 0

On peut mettre l'expression :

x^{3} + x^{2} - 2 x

en facteurs :

x \cdot (x^{2} + x - 2)

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x \neq 0

⇥Solution trouvée :

x \neq 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + x - 2 \neq 0

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 1

c = -2

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 - 3

-4

⇥

x_{1} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

⇥

x_{1} = -2