domaine de definition de sqrt(-x^3-x^2+16x+16)

1) Cherchons le domaine de

\sqrt{- x^{3} - x^{2} + 16 x + 16}

Pour que l'expression

\sqrt{- x^{3} - x^{2} + 16 x + 16}

existe, on doit vérifier :

- x^{3}

- x^{2}

+ 16 x

+ 16 \geq 0

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = -1

⇥Calculons la valeur de :

- {(-1)}^{3}

- {(-1)}^{2}

+ 16 \cdot (-1)

+ 16

⇥ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

- {(-1)}^{3}

- ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1))

- (-1)

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

16 \cdot (-1)

-16

⇥

- (-1)

- 1

- 16

+ 16

⇥ⓘ Soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter, deux signes moins font un plus :

- (-1)

1

■On part de

-16

et on avance de

16

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 16 + 16

0

⇥

1 - 1 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

- 1 + 0

-1

■On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

⇥Solution trouvée :

x = -1

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(- x^{3}

- x^{2}

+ 16 x

+ 16)

par

(x + 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16$	$- \frac{x^{3}}{x}$	$- x^{2}$	$- x^{2} \cdot (x + 1) = - x^{3} - x^{2}$	$(- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16) - (- x^{3} - x^{2}) = 16 x + 16$
$16 x + 16$	$\frac{16 x}{x}$	$16$	$16 \cdot (x + 1) = 16 x + 16$	$(16 x + 16) - (16 x + 16) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

- x^{2} + 16

(x + 1) \cdot (16 - x^{2})

On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥L'expression

x + 1

s'annule en

x = -1

, elle est négative avant et positive après

⇥1.3) Étudions le signe de

16 - x^{2}

en résolvant dans

ℝ

16 - x^{2} \geq 0

⇥On divise les deux membres par

-1

; ce nombre étant négatif, on inverse le sens de l'inégalité

⇥Une puissance paire ne dépend que de la valeur absolue :

x^{2} \leq 16

équivaut à

| x | \leq 4

⇥

| A | \leq B

équivaut à

- B \leq A \leq B

⇥

-4 \leq x \leq 4

⇥Solution trouvée :

x \in [-4; 4]

⇥Donc l'expression

16 - x^{2}

est positive ou nulle sur

[-4; 4]

et négative sinon

2) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-4$		$-1$		$4$		$+∞$
$x + 1$		-		-	0	+		+
$16 - x^{2}$		-	0	+		+	0	-
$- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16$		+	0	-	0	+	0	-

▶Domaine de définition :

x \in] -∞; -4] \cup [-1; 4]