domaine de f(x)=ln(1/x-1/(1-x))
On sauvegarde la définition : f(x) = ln(1x -11 -x)
1) Évaluons le domaine de ln(1x -11 -x)
Pour que l'expression ln(1x -11 -x) soit définie, on doit avoir : 1x -11 -x > 0
Pour que l'expression 1x soit définie, on doit avoir : x ≠ 0
Pour que l'expression -11 -x existe, on doit vérifier : 1 -x ≠ 0
2) Résolvons dans ℝ : 1x -11 -x > 0
3) Ajoutons les fractions : 1x + 1-1 + x > 0
ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs : 1x + 1-1 + x = (-1 + x) + xx·(-1 + x)
(-1 + x) + xx·(-1 + x) > 0
ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients : x + x = 2x
-1 + 2xx·(-1 + x) > 0
On étudie le signe du numérateur
⇥L'expression -1 + 2x s'annule en :
⇥ x = 12
⇥Son coefficient en x, 2, étant positif, elle est négative avant et positive après 12
On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler
Résolvons dans ℝ : x·(-1 + x) > 0
On étudie le signe de chaque facteur du produit
⇥L'expression x s'annule en x = 0 (valeur interdite), elle est négative avant et positive après
⇥L'expression -1 + x s'annule en x = 1 (valeur interdite), elle est négative avant et positive après
4) Dressons le tableau de signes :
x-∞ 0 12 1 +∞
-1 + 2x--0++
x-0+++
-1 + x---0+
1x + 1-1 + x-❌+0-❌+
Solution obtenue : x ∈ ]0 ; 12[ ∪ ]1 ; +∞[
5) Résolvons dans ℝ : 1 -x ≠ 0
ⓘ On ajoute x aux deux membres
1 ≠ x
Solution trouvée : x ≠ 1
Construisons le tableau des différents éléments pour déterminer la solution globale :
x-∞ 0 12 1 +∞
1x -11 -x > 0❌❌✅❌❌❌✅
x ≠ 0✅❌✅✅✅✅✅
1 -x ≠ 0✅✅✅✅✅❌✅
Domaine de définition : ❌❌✅❌❌❌✅
▶Domaine de définition :   x ∈ ]0 ; 12[ ∪ ]1 ; +∞[