e^x - e^(-x) = 1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

e^{x} - e^{- x} = 1

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

e^{- x}

\frac{1}{e^{x}}

e^{x} - \frac{1}{e^{x}} = 1

On multiplie les deux membres par

e^{x}

, strictement positif

e^{x} \cdot e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot e^{x} = e^{x}

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

e^{x} \cdot e^{x}

e^{x + x}

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{e^{x}} \cdot e^{x}

\frac{1 \cdot e^{x}}{e^{x}}

\frac{e^{x}}{e^{x}}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{e^{x}}{e^{x}}

-1

e^{x + x} - 1 = e^{x}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + x

2 x

e^{2 x} - 1 = e^{x}

Posons :

X = e^{x}

On peut reformuler l'expression en :

X^{2} - X - 1 = 0

Vu la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -1

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-1)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 1 + 4

ⓘ On part de

1

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

1 + 4

5

Δ = 5

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

X_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

X_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Solutions obtenues :

X = {\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

2) Cherchons x dans :

X = e^{x}

en utilisant

X = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Dans ℝ, la fonction exponentielle est strictement positive :

e^{x} > 0

, alors que

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

\approx -0,6180

est négatif, donc

e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

n'a pas de solution

Solution :

x \in \emptyset

3) Cherchons x dans :

X = e^{x}

en utilisant

X = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Appliquons la fonction ln des deux côtés :

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

\ln (e^{x})

x

▶Solution trouvée :

x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

4) La valeur numérique de :

x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

vaut :

x = \ln (\frac{1 + \approx 2,2361}{2})

x = \ln (\frac{\approx 3,2361}{2})

x = \ln (\approx 1,6180)

▷

x = \approx 0,4812