ensemble image de arctan(x) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\arctan (x)

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

\frac{1}{x^{2} + 1} = 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

1 = 0

⇥⇥L'affirmation

1 = 0

est fausse, quelle que soit la valeur de

x

⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

x^{2} + 1 \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq -1

⇥⇥Dans ℝ, un carré n'est jamais négatif : aucun nombre réel n'a pour carré

-1

⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0 :

f

est croissante sur

ℝ

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

- \frac{π}{2}

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

\frac{π}{2}

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

⇥Donc

f

est croissante sur

ℝ

Sur

ℝ

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

▶Ensemble image :

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [