ensemble image de e^x-1 — solution étape par étape

Cherchons les valeurs réelles prises par

e^{x} - 1

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = e^{x}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

e^{x} = 0

⇥Dans ℝ, la fonction exponentielle est strictement positive :

e^{x} > 0

, donc

e^{x} = 0

n'a pas de solution

⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0 :

f

est croissante sur

ℝ

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-1

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

⇥Donc

f

est croissante sur

ℝ

Sur

ℝ

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] -1; +∞ [

▶Ensemble image :

] -1; +∞ [