ensemble image de f(x)=1/(sqrt(x+2))
1) Cherchons les valeurs réelles prises par à l'aide de son tableau de variations
⇥Étudions les variations de : cherchons d'abord où sa dérivée s'annule
⇥⇥1.1) Résolvons dans :
⇥⇥⇥1.1.1) Résolvons dans :
⇥⇥⇥L'affirmation est fausse, quelle que soit la valeur de
⇥⇥⇥Solution :
⇥⇥⇥1.1.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :
⇥⇥⇥On simplifie l'expression par
⇥⇥⇥Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :
⇥⇥⇥ veut dire que :
⇥⇥⇥ⓘ On soustrait aux deux membres
⇥⇥⇥Condition de définition :
⇥⇥1.2) Évaluons le domaine de
⇥⇥ Pour que l'expression existe, on doit vérifier :
⇥⇥ Pour que l'expression existe, on doit vérifier :
⇥⇥ a déjà été résolu :
⇥⇥1.3) Résolvons dans :
⇥⇥ⓘ On soustrait aux deux membres
⇥⇥Solution trouvée :
⇥⇥L'intersection de et donne
⇥⇥Contraintes liées au domaine :
⇥ ne s'annule pas sur le domaine de
⇥Formée de fonctions usuelles, est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point
⇥ < 0 : est décroissante sur
⇥Calculons les valeurs de aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues
⇥Quand s'approche de par la droite, tend vers
⇥Quand tend vers , tend vers
⇥Dressons le tableau de variations :
⇥
| ‖ | - | ||
| ‖ | ↘ |
⇥Donc est décroissante sur
Sur , est continue : elle prend toutes les valeurs de
▶Ensemble image :
