ensemble image de f(x)=1/(x^2-1) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\frac{1}{x^{2} - 1}

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

- 2 x = 0

⇥⇥On simplifie l'expression par

-2

⇥⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = 0

⇥⇥1.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

veut dire que :

x^{2} - 1 \neq 0

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

1

sont

-1

1

⇥⇥Solutions trouvées :

x \notin {-1; 1}

⇥ Pour que l'expression

- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}

existe, on doit vérifier :

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

⇥

{(x^{2} - 1)}^{2} \neq 0

a déjà été résolu :

x \notin {-1; 1}

⇥Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {-1; 1}

⇥

f^{'} (x)

s'annule en

x = 0

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-2) = \frac{4}{9}

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; -1 [

⇥

f^{'} (- \frac{1}{2}) = \frac{16}{9}

> 0 :

f

est croissante sur

] -1; 0 [

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = - \frac{16}{9}

< 0 :

f

est décroissante sur

] 0; 1 [

⇥

f^{'} (2) = - \frac{4}{9}

< 0 :

f

est décroissante sur

] 1; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

0

⇥Quand

x

s'approche de

-1

par la gauche,

f (x)

tend vers

+∞

; par la droite, vers

-∞

⇥

f (0) = \frac{1}{0^{2} - 1} = -1

⇥Quand

x

s'approche de

1

par la gauche,

f (x)

tend vers

-∞

; par la droite, vers

+∞

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

0

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$-1$		$0$		$1$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	‖	+	$0$	-	‖	-
$f (x)$	$0$	↗	$+∞$ ‖ $-∞$	↗	$-1$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Donc

f

est croissante sur

] -∞; -1 [

et sur

] -1; 0]

et décroissante sur

[0; 1 [

et sur

] 1; +∞ [

Sur

] -∞; -1 [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] 0; +∞ [

Sur

] -1; 1 [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] -∞; -1]

Sur

] 1; +∞ [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] 0; +∞ [

▶Ensemble image :

] -∞; -1] \cup] 0; +∞ [