ensemble image de f(x)=4/(x-5) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\frac{4}{x - 5}

, pour

x

réel

⇥Évaluons le domaine de

\frac{4}{x - 5}

⇥ Pour que l'expression

\frac{4}{x - 5}

existe, on doit vérifier :

x - 5 \neq 0

⇥ⓘ On ajoute

5

aux deux membres

⇥Solution obtenue :

x \neq 5

Le domaine de départ est

x \neq 5

2) On pose

y = \frac{4}{x - 5}

et on résout pour

x

afin d'exprimer l'entrée en fonction de la valeur atteinte

⇥2.1) Résolvons dans

ℝ

y = \frac{4}{x - 5}

⇥

\frac{4}{x - 5} = y

⇥On multiplie les deux membres par

x - 5

, non nul pour que les fractions soient définies

⇥

\frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5) = y \cdot (x - 5)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5)

\frac{4 \cdot (x - 5)}{x - 5}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x - 5

\frac{4 \cdot (x - 5)}{x - 5}

4

⇥

4 = y \cdot (x - 5)

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

y \cdot (x - 5)

y x + y \cdot (-5)

⇥

4 = y x + y \cdot (-5)

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

y \cdot (-5)

- 5 y

⇥

4 = y x - 5 y

⇥

y x - 5 y = 4

⇥

y x = 4 + 5 y

⇥ⓘ On divise les deux membres par

y

, qui doit être non nul :

y \neq 0

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = \frac{5 y + 4}{y}

⇥2.2) Cherchons le domaine de

y = \frac{4}{x - 5}

⇥ Pour que l'expression

\frac{4}{x - 5}

existe, on doit vérifier :

x - 5 \neq 0

⇥ⓘ On ajoute

5

aux deux membres

⇥Contraintes liées au domaine :

x \neq 5

3) L'équation a une solution en

x

exactement quand

y \neq 0

: ce sont les valeurs atteintes

▶Ensemble image :

ℝ \ {0}