ensemble image de f(x)= 1/(x+3) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\frac{1}{x + 3}

, pour

x

réel

⇥Cherchons le domaine de

\frac{1}{x + 3}

⇥ Pour que l'expression

\frac{1}{x + 3}

soit définie, on doit avoir :

x + 3 \neq 0

⇥Solution obtenue :

x \neq -3

Le domaine de départ est

x \in ℝ \ {-3}

2) On pose

y = \frac{1}{x + 3}

et on résout pour

x

afin d'exprimer l'entrée en fonction de la valeur atteinte

⇥2.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{1}{x + 3} = y

⇥Additionnons les fractions :

\frac{1}{x + 3} - y = 0

⇥

\frac{1 - y \cdot (x + 3)}{x + 3} = 0

⇥2.2) Résolvons dans

ℝ

1 - y \cdot (x + 3) = 0

⇥

1 - (y x + y \cdot 3) = 0

⇥

1 - y \cdot x - y \cdot 3 = 0

⇥

- y x = - 1 + y \cdot 3

⇥

x = \frac{- 1 + y \cdot 3}{- y}

⇥

x = - \frac{- 1 + y \cdot 3}{y}

⇥

x = \frac{1 - y \cdot 3}{y}

⇥Solution trouvée :

x = \frac{1 - 3 y}{y}

⇥2.3) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x + 3 \neq 0

⇥Solution exclue :

x \neq -3

3) Chaque valeur du domaine de la réciproque est atteinte : son domaine donne donc l'ensemble image

⇥Cherchons le domaine de

\frac{1 - 3 y}{y}

⇥ Pour que l'expression

\frac{1 - 3 y}{y}

existe, on doit vérifier :

y \neq 0

⇥Solution trouvée :

y \in ℝ \ {0}

▶Ensemble image :

ℝ \ {0}