ensemble image de f(x)=-e^{-x} — solution étape par étape

⚠ f(x)=-e^{-x} est lu comme f(x)=-e^(-x) : utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

- e^{- x}

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \frac{1}{e^{x}}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

\frac{1}{e^{x}} = 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

1 = 0

⇥⇥L'affirmation

1 = 0

est fausse, quelle que soit la valeur de

x

⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

e^{x} \neq 0

⇥⇥Dans ℝ, la fonction exponentielle est strictement positive :

e^{x} > 0

, donc

e^{x} \neq 0

est vraie pour tout

x

⇥⇥Solution obtenue :

x \in ℝ

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (0) = 1

> 0 :

f

est croissante sur

ℝ

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-∞

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

0

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

⇥Donc

f

est croissante sur

ℝ

Sur

ℝ

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] -∞; 0 [

▶Ensemble image :

] -∞; 0 [