ensemble image de f(x)=-x^3
Cherchons les valeurs réelles prises par -x3 à l'aide de son tableau de variations
⇥Étudions les variations de f(x) : cherchons d'abord où sa dérivée f'(x) = -3x2 s'annule
⇥Résolvons dans ℝ : -3x2 = 0
⇥On simplifie l'expression par -3
⇥⇥Résolvons dans ℝ : x2 = 0
⇥⇥x2 = 0 équivaut à : x = 0
⇥⇥Solution obtenue : x = 0
⇥f'(x) s'annule en x = 0
⇥Formée de fonctions usuelles, f'(x) est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point
⇥f'(-1) = -3 < 0 : f est décroissante sur ]-∞ ; 0[
⇥f'(1) = -3 < 0 : f est décroissante sur ]0 ; +∞[
⇥Calculons les valeurs de f aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues
⇥Quand x tend vers -∞, f(x) tend vers +∞
⇥f(0) = -03 = 0
⇥Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers -∞
⇥Dressons le tableau de variations :
⇥
x-∞0+∞
f'(x)-0-
f(x)+∞↘0↘-∞
⇥Donc f est décroissante sur ℝ
Sur ℝ, f est continue : elle prend toutes les valeurs de ℝ
▶Ensemble image :   ℝ