ensemble image de f(x)=(x-7)^2
Cherchons les valeurs réelles prises par (x -7)2 à l'aide de son tableau de variations
⇥Étudions les variations de f(x) : cherchons d'abord où sa dérivée f'(x) = 2·(x -7) s'annule
⇥Résolvons dans ℝ : 2·(x -7) = 0
⇥On simplifie l'expression par 2
⇥⇥Résolvons dans ℝ : x -7 = 0
⇥⇥Solution obtenue : x = 7
⇥f'(x) s'annule en x = 7
⇥Formée de fonctions usuelles, f'(x) est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point
⇥f'(0) = -14 < 0 : f est décroissante sur ]-∞ ; 7[
⇥f'(8) = 2 > 0 : f est croissante sur ]7 ; +∞[
⇥Calculons les valeurs de f aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues
⇥Quand x tend vers -∞, f(x) tend vers +∞
⇥f(7) = (7 -7)2 = 0
⇥Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞
⇥Dressons le tableau de variations :
⇥
x-∞7+∞
f'(x)-0+
f(x)+∞↘0↗+∞
⇥Donc f est décroissante sur ]-∞ ; 7] et croissante sur [7 ; +∞[
Sur ℝ, f est continue : elle prend toutes les valeurs de [0 ; +∞[
▶Ensemble image :   [0 ; +∞[