ensemble image de (3x-2)/(x+5) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\frac{3 x - 2}{x + 5}

, pour

x

réel

⇥Évaluons le domaine de

\frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥ Pour que l'expression

\frac{3 x - 2}{x + 5}

soit définie, on doit avoir :

x + 5 \neq 0

⇥ⓘ On soustrait

5

aux deux membres

⇥Solution trouvée :

x \neq -5

Le domaine de départ est

x \neq -5

2) On pose

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

et on résout pour

x

afin d'exprimer l'entrée en fonction de la valeur atteinte

⇥2.1) Résolvons dans

ℝ

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥

\frac{3 x - 2}{x + 5} = y

⇥On multiplie les deux membres par

x + 5

, non nul pour que les fractions soient définies

⇥

\frac{3 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5) = y \cdot (x + 5)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3 x - 2}{x + 5} \cdot (x + 5)

\frac{(3 x - 2) \cdot (x + 5)}{x + 5}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x + 5

\frac{(3 x - 2) \cdot (x + 5)}{x + 5}

3 x - 2

⇥

3 x - 2 = y \cdot (x + 5)

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

y \cdot (x + 5)

y x + y \cdot 5

⇥

3 x - 2 = y x + y \cdot 5

⇥ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

⇥

3 x = y x + y \cdot 5 + 2

⇥

3 x - y x = y \cdot 5 + 2

⇥

(3 - y) \cdot x = y \cdot 5 + 2

⇥ⓘ On divise les deux membres par

(3 - y)

, qui doit être non nul :

y \neq 3

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = \frac{5 y + 2}{3 - y}

⇥2.2) Cherchons le domaine de

y = \frac{3 x - 2}{x + 5}

⇥ Pour que l'expression

\frac{3 x - 2}{x + 5}

existe, on doit vérifier :

x + 5 \neq 0

⇥ⓘ On soustrait

5

aux deux membres

⇥Contraintes liées au domaine :

x \neq -5

3) L'équation a une solution en

x

exactement quand

y \neq 3

: ce sont les valeurs atteintes

▶Ensemble image :

ℝ \ {3}