ensemble image de (3x+4)/(x^2-25)

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\frac{3 x + 4}{x^{2} - 25}

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = - \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

- \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

- (3 x^{2} + 8 x + 75) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 x^{2} + 8 x + 75)

- 3 x^{2} - 8 x - 75

⇥⇥

- 3 x^{2} - 8 x - 75

⇥⇥

- 3 x^{2} - 8 x - 75 = 0

⇥⇥Comme

-1 \neq 0

, on divise les deux membres par

-1

3 x^{2} + 8 x + 75 = 0

⇥⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = 8

c = 75

⇥⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 75

⇥⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥⇥

Δ = 64 - 12 \cdot 75

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 75

(10 + 2) \cdot 75

10 \cdot 75 + 2 \cdot 75

750 + 150

900

⇥⇥

Δ = 64 - 900

⇥⇥ⓘ On part de

64

et on recule de

900

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

64 - 900

-836

⇥⇥

Δ = -836

⇥⇥Comme

Δ < 0

, l'équation n'a pas de racine réelle.

⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

veut dire que :

x^{2} - 25 \neq 0

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

25

sont

-5

5

⇥⇥Solutions trouvées :

x \notin {-5; 5}

⇥ Pour que l'expression

- \frac{3 x^{2} + 8 x + 75}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

soit définie, on doit avoir :

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

⇥

{(x^{2} - 25)}^{2} \neq 0

a déjà été résolu :

x \notin {-5; 5}

⇥Contraintes liées au domaine :

x \in ℝ \ {-5; 5}

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-6) = - \frac{135}{121}

< 0 :

f

est décroissante sur

] -∞; -5 [

⇥

f^{'} (0) = - \frac{3}{25}

< 0 :

f

est décroissante sur

] -5; 5 [

⇥

f^{'} (6) = - \frac{21}{11}

< 0 :

f

est décroissante sur

] 5; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

0

⇥Quand

x

s'approche de

-5

par la gauche,

f (x)

tend vers

-∞

; par la droite, vers

+∞

⇥Quand

x

s'approche de

5

par la gauche,

f (x)

tend vers

-∞

; par la droite, vers

+∞

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

0

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$-5$		$5$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	‖	-	‖	-
$f (x)$	$0$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$0$

⇥Donc

f

est décroissante sur

] -∞; -5 [

et sur

] -5; 5 [

et sur

] 5; +∞ [

Sur

] -∞; -5 [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] -∞; 0 [

Sur

] -5; 5 [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

ℝ

Sur

] 5; +∞ [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] 0; +∞ [

▶Ensemble image :

ℝ