ensemble image de (-5)/(2x+7) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

- \frac{5}{2 x + 7}

, pour

x

réel

⇥Cherchons le domaine de

- \frac{5}{2 x + 7}

⇥ Pour que l'expression

- \frac{5}{2 x + 7}

soit définie, on doit avoir :

2 x + 7 \neq 0

⇥ⓘ On soustrait

7

aux deux membres

⇥

2 x \neq -7

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥Solution trouvée :

x \neq - \frac{7}{2}

Le domaine de départ est

x \neq - \frac{7}{2}

2) On pose

y = - \frac{5}{2 x + 7}

et on résout pour

x

afin d'exprimer l'entrée en fonction de la valeur atteinte

⇥2.1) Résolvons dans

ℝ

y = - \frac{5}{2 x + 7}

⇥

- \frac{5}{2 x + 7} = y

⇥On multiplie les deux membres par

2 x + 7

, non nul pour que les fractions soient définies

⇥

- \frac{5}{2 x + 7} \cdot (2 x + 7) = y \cdot (2 x + 7)

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

- \frac{5}{2 x + 7} \cdot (2 x + 7)

- \frac{5 \cdot (2 x + 7)}{2 x + 7}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{5 \cdot (2 x + 7)}{2 x + 7}

-5

⇥

-5 = y \cdot (2 x + 7)

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

y \cdot (2 x + 7)

y \cdot 2 x + y \cdot 7

⇥

-5 = y \cdot 2 x + y \cdot 7

⇥

y \cdot 2 x + y \cdot 7 = -5

⇥

y \cdot 2 x = - 5 - y \cdot 7

⇥ⓘ On divise les deux membres par

y \cdot 2

, qui doit être non nul :

y \neq 0

⇥

x = \frac{- 5 - y \cdot 7}{y \cdot 2}

⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 5 - y \cdot 7

- (5 + y \cdot 7)

⇥

x = - \frac{5 + y \cdot 7}{y \cdot 2}

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = - \frac{7 y + 5}{2 y}

⇥2.2) Cherchons le domaine de

y = - \frac{5}{2 x + 7}

⇥ Pour que l'expression

- \frac{5}{2 x + 7}

soit définie, on doit avoir :

2 x + 7 \neq 0

⇥ⓘ On soustrait

7

aux deux membres

⇥

2 x \neq -7

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥Contraintes liées au domaine :

x \neq - \frac{7}{2}

3) L'équation a une solution en

x

exactement quand

y \neq 0

: ce sont les valeurs atteintes

▶Ensemble image :

ℝ \ {0}