ensemble image de pi-3arcsin(2x-1)

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

π - 3 \cdot \arcsin (2 x - 1)

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = - \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}}

s'annule

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

⇥⇥⇥1.1.1) Résolvons dans

ℝ

-6 = 0

⇥⇥⇥L'affirmation

-6 = 0

est fausse, quelle que soit la valeur de

x

⇥⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥⇥1.1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}} \neq 0

⇥⇥⇥

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}} \neq 0

équivaut à :

1 - {(2 x - 1)}^{2} \neq 0

⇥⇥⇥Pour

1 - {(2 x - 1)}^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

1^{2} - {(2 x - 1)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = 1

b = 2 x - 1

⇥⇥⇥On peut mettre l'expression :

1 - {(2 x - 1)}^{2}

en facteurs :

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1))

⇥⇥⇥1.1.3) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1)) \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

■Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 1

0

⇥⇥⇥

(1 - 2 x + 1) \cdot (0 + 2 x) \neq 0

⇥⇥⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 + 1

2

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 2 x

2 x

⇥⇥⇥

(2 - 2 x) \cdot 2 x \neq 0

⇥⇥⇥On simplifie l'expression par

2

⇥⇥⇥1.1.3.1) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

2 - 2 x \neq 0

⇥⇥⇥

2 x \neq 2

⇥⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥⇥⇥

x \neq \frac{2}{2}

⇥⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥⇥⇥Condition de définition :

x \neq 1

⇥⇥⇥1.1.3.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x \neq 0

⇥⇥⇥Condition de définition :

x \neq 0

⇥⇥1.2) Évaluons le domaine de

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

⇥⇥ Pour que l'expression

- \frac{6}{\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}} = 0

soit définie, on doit avoir :

1 - {(2 x - 1)}^{2} > 0

⇥⇥ Pour que l'expression

\sqrt{1 - {(2 x - 1)}^{2}}

existe, on doit vérifier :

1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1) \geq 0

⇥⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

1 - {(2 x - 1)}^{2} > 0

⇥⇥Pour

1 - {(2 x - 1)}^{2}

, on reconnaît une différence de deux carrés :

1^{2} - {(2 x - 1)}^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = 1

b = 2 x - 1

⇥⇥On peut factoriser l'expression :

1 - {(2 x - 1)}^{2}

en :

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1))

⇥⇥1.4) Résolvons dans

ℝ

(1 - (2 x - 1)) \cdot (1 + (2 x - 1)) > 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x - 1)

- 2 x + 1

■Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 1

0

⇥⇥

(1 - 2 x + 1) \cdot (0 + 2 x) > 0

⇥⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 + 1

2

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 2 x

2 x

⇥⇥

(2 - 2 x) \cdot 2 x > 0

⇥⇥On simplifie l'expression par

2

⇥⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥⇥L'expression

2 - 2 x

s'annule en :

⇥⇥⇥

x = \frac{-2}{-2}

⇥⇥⇥ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{-2}{-2}

\frac{2}{2}

⇥⇥⇥

x = \frac{2}{2}

⇥⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥⇥⇥

x = 1

⇥⇥⇥Son coefficient en

x

-2

, étant négatif, elle est positive avant et négative après

1

⇥⇥⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

, elle est négative avant et positive après

⇥⇥1.5) Dressons le tableau de signes :

⇥⇥

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$2 - 2 x$		+		+	0	-
$x$		-	0	+		+
$1 - {(2 x - 1)}^{2}$		-	0	+	0	-

⇥⇥Solution trouvée :

x \in] 0; 1 [

⇥⇥1.6) Résolvons dans

ℝ

1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1) \geq 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)

- (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1))

⇥⇥

1 - (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1)) \geq 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 2 x \cdot (-1)

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot (-1))

- 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 1 \cdot 2 x

+ 1 \cdot (-1)

⇥⇥

1

- 2 \cdot x \cdot 2 \cdot x

- 2 x \cdot (-1)

+ 1 \cdot 2 x

+ 1 \cdot (-1) \geq 0

⇥⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

x \cdot x

x^{2}

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-2 \cdot (-1)

2

⇥⇥

1

- 4 x^{2}

+ 2 x

+ 2 x

- 1 \geq 0

⇥⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x + 2 x

4 x

⇥⇥

0 - 4 x^{2} + 4 x \geq 0

⇥⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 4 x^{2}

-4 x^{2}

⇥⇥

- 4 x^{2} + 4 x \geq 0

⇥⇥On peut factoriser l'expression :

4 x - 4 x^{2}

en :

x \cdot (4 - 4 x)

⇥⇥On étudie le signe de chaque facteur du produit

⇥⇥⇥L'expression

x

s'annule en

x = 0

, elle est négative avant et positive après

⇥⇥⇥L'expression

4 - 4 x

s'annule en :

⇥⇥⇥

x = \frac{-4}{-4}

⇥⇥⇥ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{-4}{-4}

\frac{4}{4}

⇥⇥⇥

x = \frac{4}{4}

⇥⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{4}

1

⇥⇥⇥

x = 1

⇥⇥⇥Son coefficient en

x

-4

, étant négatif, elle est positive avant et négative après

1

⇥⇥1.7) Dressons le tableau de signes :

⇥⇥

x	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$x$		-	0	+		+
$4 - 4 x$		+		+	0	-
$1 - (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)$		-	0	+	0	-

⇥⇥Solution obtenue :

x \in [0; 1]

⇥⇥L'intersection de

x \in] 0; 1 [

x \in [0; 1]

donne

x \in] 0; 1 [

⇥⇥Contraintes liées au domaine :

x \in] 0; 1 [

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = -6

< 0 :

f

est décroissante sur

] 0; 1 [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥

f (0) = π - 3 \cdot \arcsin (2 \cdot 0 - 1) = \frac{5 π}{2}

⇥

f (1) = π - 3 \cdot \arcsin (2 \cdot 1 - 1) = - \frac{π}{2}

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$0$		$1$
$f^{'} (x)$	‖	-	‖
$f (x)$	$\frac{5 π}{2}$	↘	$- \frac{π}{2}$

⇥Donc

f

est décroissante sur

[0; 1]

Sur

[0; 1]

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]

▶Ensemble image :

[- \frac{π}{2}; \frac{5 π}{2}]