ensemble image de sqrt(x^2-4) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\sqrt{x^{2} - 4}

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}

s'annule

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = 0

⇥⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥⇥1.1.1) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = 0

⇥⇥⇥1.1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

\sqrt{x^{2} - 4} \neq 0

⇥⇥⇥

\sqrt{x^{2} - 4} \neq 0

équivaut à :

x^{2} - 4 \neq 0

⇥⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

4

sont

-2

2

⇥⇥⇥Solutions trouvées :

x \notin {-2; 2}

⇥⇥1.2) Évaluons le domaine de

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = 0

⇥⇥ Pour que l'expression

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = 0

existe, on doit vérifier :

x^{2} - 4 > 0

⇥⇥Une puissance paire ne dépend que de la valeur absolue :

x^{2} > 4

équivaut à

| x | > 2

⇥⇥

| A | > B

équivaut à :

A > B

A < - B

⇥⇥Contraintes liées au domaine :

x \in] -∞; -2 [\cup] 2; +∞ [

⇥⇥La solution

x = 0

ne respecte pas le domaine

x \in] -∞; -2 [\cup] 2; +∞ [

: elle est écartée

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-3) = - \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{5}

< 0 :

f

est décroissante sur

] -∞; -2 [

⇥

f^{'} (3) = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{5}

> 0 :

f

est croissante sur

] 2; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥

f (-2) = \sqrt{{(-2)}^{2} - 4} = 0

⇥

f (2) = \sqrt{2^{2} - 4} = 0

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$-2$	$2$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	‖	‖	+
$f (x)$	$+∞$	↘	$0$	$0$	↗	$+∞$

⇥Donc

f

est décroissante sur

] -∞; -2]

et croissante sur

[2; +∞ [

Sur

[2; +∞ [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

[0; +∞ [

▶Ensemble image :

[0; +∞ [